クラス内に同じ誕生日の二人組がいる確率がイメージと違う

おつかれさまです。こばやんです。

今更ですが、新春に放送された

「大人のピタゴラスイッチ」をようやく観ました。

全般的におもしろかったです。

最後の三兄弟のストーリーは、ぜひ見て欲しいです。

泣きます。マジで。

クラス内に同じ誕生日の二人組ができる確率

当番組で、次のようなお話しが出ていました。

40人クラスで、同じ誕生日の二人組ができる確率は？

 一見、低そうですよね。50%は行かないだろうって感じ。

でも、正解は、89.1%

めっちゃ高いじゃあないですか！

子供のころ、同じ誕生日の子が同じクラスや、部活にいたりしたら、

何となく運命を感じていたのが恥ずかしくなる数字です。

（正確には「クラス内の誰かが」なので、「自分が」とは異なります。）

本当に？

本当に「89.1%」なのでしょうか？

ポイントは、「余事象を考える」ことです。

余事象とは、「ある事象」以外の事象全体を指します。

 今回の場合、「ある事象」は

「クラス内に同じ誕生日の二人組がいる」ことです。

(三人組以上がいたとしても、二人組ができると考えます。)

その余事象を考えると、

「クラス内に同じ誕生日の二人組がいない」

つまり、

「クラス内に同じ誕生日の人がいない」

ということになります。

余事象「クラス内に同じ誕生日の人がいない」の確率

 クラス内に同じ誕生日の人がいない確率は、

感覚的には結構高めですよね。

では、実際に計算してみましょう。

（ここでは、うるう年は対象外とし、１年は365日とします）

40人クラスのうち、まず一人目をピックアップしてみます。

一人目の人の誕生日は１年間の日付のいつでもいいので、

365通りあることになります。

よって、確率的には、365 / 365 = 1 ですね。

その上で二人目に着目します。

二人目の人は、一人目の人と同じ誕生日ではいけないので、

365-1通り選択肢があることになります。

よって、二人目が一人目の誕生日以外の誕生日である確率は、

364 / 365 となります。

同じように三人目はどうでしょうか？

一人目、二人目とも同じであってはいけないので、

365-2通り選択肢があることになります。

よって、三人目が一人目、二人目の誕生日以外の誕生日である確率は、

363 / 365 となります。

ここまでで、三人共に同じ誕生日にならない確率は、

上記の確率がすべて同時に満たされなくてはなりません。

確率の計算上、同時に満たす場合は、掛け算を行います。

つまり、

(365 / 365) × (364 / 365) × (363 / 365)

となります。

果てしない数字で、計算したくないです。笑

これを、40人目まで繰り返しますと・・・

(365 / 365) × (364 / 365) × (363 / 365) × ・・・ × (326 / 365)

 となり、結果、

「0.109」(小数第4位を四捨五入)となります。

 パーセントに直すには、この結果に100を掛けてあげるので、

「10.9%」となるのですね。

ただし、この確率は求めたかった確率の余事象です。

求めたかった確率は？

余事象の確率が求められたのですが、この先どうすればいいのでしょうか？

余事象の性格は、なんだっけ？ということですが、

「ある事象」以外のことだと説明しました。

つまり、ある事象の確率とその余事象の確率を足すと

100%になるということです。

ある事象の確率

＝ 100% ー 10.9%

＝ 89.1%

ということになります。

ちなみに、数学の世界では、

パーセント(百分率)での表記はあまりしないように思いますので、

全体の確率は 1 と考えることが多いです。

ある事象の確率

＝ 1 ー 0.109

＝ 0.891

こうやって、数字で出してみると、

全員の誕生日が違うことの方がめずらしいんですね。

他にも意外に思えることが結構あるかもしれません。

それでは、また＾＾